Die Hauptthemen dieser Arbeit sind Shift Radix Systeme (SRS), sowie die Schur-Cohn Region und deren Verallgemeinerungen. SRS wurden 2005 von Akiyama, Borbély, Brunotte, Pethõ und Thuswaldner eingeführt und verallgemeinern zwei wichtige Zahlensysteme: Beta-Entwicklungen und kanonische Zahlensysteme. Seit ihrer Einführung fanden SRS großes Interesse um ihrer selbst willen und waren Thema zahlreicher Publikationen. In dieser Arbeit werden neue Algorithmen, Charakterisierungsergebnisse, topologische Resultate über SRS, sowie Ergebnisse zum Lebesguemaß einer verallgemeinerten Schur-Cohn Region präsentiert. Außerdem beinhaltet sie Ergebnisse zu einer speziellen Art von Mehrfachintegralen, welche auf Selberg und Aomoto zurückgehen. Die Arbeit enthält eine CD, auf welcher sich eine kommentierte Version des C++ Programms befindet, durch dessen Anwendung einige der Resultate dieser Arbeit erzielt werden konnten. Die Arbeit enthält sechs Kapitel, welche im Folgenden vorgestellt werden:
Kapitel 1, Selberg and Aomoto integrals:
In diesem Kapitel werden spezielle Typen von Integralen - bekannt als Selberg und Aomoto Integrale - eingeführt und verallgemeinert. Die hergeleiteten Formeln werden in Kapitel 2 benötigt, um die Volumina der Teile einer Zerlegung der Schur-Cohn Region zu berechnen.
Kapitel 2, The Schur-Cohn region and its generalizations:
Die Schur-Cohn Region steht in einem engen Zusammenhang mit einer bestimmten dynamischen Eigenschaft von SRS. In diesem Kapitel werden bekannte Resultate zur Schur-Cohn Region wiederholt. Außerdem wird eine kürzlich geäußerte Vermutung über die Volumina der Teile einer Zerlegung behandelt und für einen Spezialfall bewiesen.
Kapitel 3, Shift Radix Systems and the finiteness property:
In diesem Kapitel werden SRS und einige wichtige verwandte Werkzeuge und Konzepte vorgestellt. Die Beziehungen zu Beta-Entwicklungen, kanonischen Zahlensystemen und zur Schur-Cohn Region werden aufgezeigt.
Kapitel 4, New algorithms and topological results:
Zwei neue Algorithmen, welche die Charakterisierung von SRS mit Endlichkeitseigenschaft erlauben, werden vorgestellt. Die Algorithmen werden angewendet, um zwei zuvor offene Fragen zur Topologie jener Menge zu beantworten, welche die zweidimensionalen SRS mit Endlichkeitseigenschaft charakterisiert: Es wird gezeigt, dass diese Menge nicht zusammenhängend ist und dass die größte Zusammenhangskomponente eine nichttriviale Fundamentalgruppe hat.
Kapitel 5, Gaussian Shift Radix Systems and Pethõs Loudspeaker:
In diesem Kapitel werden SRS für komplexe Zahlen und Gaußsche Ganzzahlen verallgemeinert, was zur Definition von Gaußschen SRS (GSRS) führt. Eine Vermutung über die Menge, welche die eindimensionalen GSRS mit Endlichkeitseigenschaft charakterisiert, wird formuliert und in entscheidenden Teilen beweisen. Außerdem wird gezeigt, dass diese Menge, welche als Pethõs Lautsprecher bekannt ist, kritische Punkte besitzt, sowie eine Art Selbstähnlichkeit aufweist, welche vom GSRS Analogon eines der Algorithmen aus Kapitel 4 enthüllt wird.
Kapitel 6, Shift Radix Systems over imaginary quadratic Euclidean domains:
Eine weitere Verallgemeinerung von SRS für imaginär quadratische Euklidische Ringe wird behandelt. Die überraschende Beobachtung, dass zwei der fünf Ringe scheinbar kritische Punkte besitzen, während einer lediglich schwach kritische Punkte hat und die verbleibenden weder kritische noch schwach kritische, wird in Teilen bewiesen.
Einige der Resultate dieser Arbeit sind in den folgenden Publikationen erschienen, oder werden dort erscheinen: Characterization algorithms for shift radix systems with finiteness property, Weitzer M., 2015, Int. J. Number Theory, 11(1)
On the characterization of Pethõ's Loudspeaker, Weitzer M., 2015, Publ. Math. Debrecen. To appear. A number theoretic problem on the distribution of polynomials with bounded roots, Kirschenhofer P. and Weitzer M., 2015, Integers, 15(#A10)