TY - BOOK

T1 - Familien relativer Thue-Gleichungen über imaginär-quadratischen Zahlkörpern

AU - Lampl, Catrin

N1 - nicht gesperrt

PY - 2007

Y1 - 2007

N2 - Die vorliegende Arbeit, die im Rahmen des FWF-Forschungsschwerpunkts S83 Algorithmische Zahlentheorie und Anwendungen entstanden ist, behandelt die Ermittlung der ganzzahligen Lösungen wesentlicher Klassen algebraischer Gleichungen. Bekannte klassische Probleme dieser Art sind das Große Fermatsche Problem oder die Bestimmung pythagoräischer Tripel. Heute finden derartige Resultate ein bedeutendes Anwendungsgebiet bei der Verschlüsselung von Daten mithilfe elliptischer Kurven. In der vorliegenden Arbeit werden sogenannte Thue-Gleichungen untersucht, d.h. Gleichungen der Form F(x,y) = m, wobei F(x,y) ein irreduzibles homogenes Polynom in x und y (dessen Grad mindestens 3 ist) und m eine ganze Zahl ist. Im speziellen beschäftigt sich die Arbeit mit parametrisierten Familien kubischer Thue-Gleichungen über imaginär-quadratischen Zahlkörpern, d.h. speziellen Zahlkörpern im Bereich der komplexen Zahlen. Um die Lösungen x,y aus dem zugehörigen Ganzheitsring zu berechnen, benutzt man die Idee, dass das Lösen dieser Gleichung äquivalent dazu ist, alle Elemente eines gewissen Zahlkörpers 6.Grades mit kleiner Relativnorm zu bestimmen. Dazu, wie auch zur nachfolgenden Behandlung der Lösungen der Thue-Gleichung waren zahlreiche algebraische Hilfsresultate zu entwickeln und umfangreiche Computeruntersuchungen mithilfe von Computeralgebra durchzuführen.

AB - Die vorliegende Arbeit, die im Rahmen des FWF-Forschungsschwerpunkts S83 Algorithmische Zahlentheorie und Anwendungen entstanden ist, behandelt die Ermittlung der ganzzahligen Lösungen wesentlicher Klassen algebraischer Gleichungen. Bekannte klassische Probleme dieser Art sind das Große Fermatsche Problem oder die Bestimmung pythagoräischer Tripel. Heute finden derartige Resultate ein bedeutendes Anwendungsgebiet bei der Verschlüsselung von Daten mithilfe elliptischer Kurven. In der vorliegenden Arbeit werden sogenannte Thue-Gleichungen untersucht, d.h. Gleichungen der Form F(x,y) = m, wobei F(x,y) ein irreduzibles homogenes Polynom in x und y (dessen Grad mindestens 3 ist) und m eine ganze Zahl ist. Im speziellen beschäftigt sich die Arbeit mit parametrisierten Familien kubischer Thue-Gleichungen über imaginär-quadratischen Zahlkörpern, d.h. speziellen Zahlkörpern im Bereich der komplexen Zahlen. Um die Lösungen x,y aus dem zugehörigen Ganzheitsring zu berechnen, benutzt man die Idee, dass das Lösen dieser Gleichung äquivalent dazu ist, alle Elemente eines gewissen Zahlkörpers 6.Grades mit kleiner Relativnorm zu bestimmen. Dazu, wie auch zur nachfolgenden Behandlung der Lösungen der Thue-Gleichung waren zahlreiche algebraische Hilfsresultate zu entwickeln und umfangreiche Computeruntersuchungen mithilfe von Computeralgebra durchzuführen.

KW - number theory

KW - imaginary quadratic equation

KW - diophantine Thue equation

KW - number field

KW - Zahlentheorie

KW - imaginär-quadratische Gleichung

KW - diophantische Thue-Gleichung

KW - Zahlkörper

M3 - Dissertation

ER -