Die elastischen Eigenschaften eines Materials spielen eine Schlüsselrolle in Forschung und Technologie, da sind grundlegend für das mechanische und thermodynamische Verhalten sind. Obwohl die mechanischen Eigenschaften stark von der Mikrostruktur abhängen, werden sie von Wechselwirkungen auf atomarer Ebene bestimmt. Aus diesem Grund bietet die computerunterstützte Festkörpertheorie auf Basis der Quantenmechanik einen Einblick, der wesentlich für das Verständnis des makroskopischen Materialverhaltens ist. Das Hauptziel dieser Arbeit ist die Entwicklung und Implementierung eines Schemas für die zuverlässige Ab-initio-Berechnung der elastischen Eigenschaften kristalliner Materialien. Elastische Eigenschaften werden entweder durch die elastischen Konstanten, das heißt, durch die Komponenten des elastischen Tensors, charakterisiert, oder durch elastische Moduln, welche die entsprechenden gemittelten Größen darstellen. Die elastischen Konstanten können durch eine Taylor-Entwicklung der freien Energie oder der Spannung als Funktion der Kristallverformung (Verzerrung) definiert werden. Die Koeffizienten der Taylorreihe stellen dabei die elastischen Kostanten verschiedener Ordnung dar. Um die elastischen Konstanten zu berechnen, benötigt man die Gesamtenergie oder die Spannung eines verformten Kristalls als Funktion der Verzerrung. Einen geeigneten quantenmechanischen Rahmen zur Bestimmung dieser Größen stellt die Dichtefunktionaltheorie (DFT) dar, die auch in der vorliegenden Arbeit eingesetzt wurde. Wir verwenden state-of-the-art DFT-Programme für die Berechnung der Energien und/oder der Spannung. Wir untersuchen elastische Konstanten zweiter Ordnung für ausgewählte, typische Materialien aller Gitterarten und elastische Konstanten dritter Ordnung jeweils für einen Prototypen eines kubischen, hexagonalen, und rhomboedrischen Systems. Die Implemetierung ist also allgemein in dem Sinne, dass für die elastischen Konstanten zweiter Ordnung alle Symmetrien berücksichtigt werden. Daneben legen wir besonderes Augenmerk auf die Auswertung der numerischen Daten zu Energie und Spannung. Wir schlagen eine neue Vorgangsweise vor, die die Bestimmung elastischer Konstanten auf der Basis von Ab-initio-Rechnungen so zuverlässig wie möglich macht. Eine konkrete Anwendung von ElaStic im Rahmen dieser Disertation stellen Nickel-Titan-Legierungen dar, die zu einer Materialklasse zählen, welche bekannt für ihre Form-Gedächtnis-Eigenschaften ist. Da die entsprechenden Phasenumwandlungen zwischen den beteiligten kristallographischen Phasen durch Gitterverzerrungen vor sich gehen, spielen die elastischen Eigenschaften natürlicherweise eine zentrale Rolle. Wir haben die elastischen Konstanten und makroskopischen Moduln für die Kristallstrukturen B2, B19, B19' and B33 berechnet. Wir zeigen, dass die B19 Struktur im Gegensatz zur B2-Struktur instabil ist und deshalb keine Zwischenphase für die Form-Gedächtnis-Legierung NiTi sein kann. Zusätzlich zu diesen Rechnungen haben wir auch die Phononendispersion von NiTi in der B2-Phase berechnet. Aufgrund des Verhaltens der weichen Moden können wir ausschließen, dass die Umwandlung von B2 zu B19' über eine rhomboedrische Phase verläuft.